Identité remarquable : 10 exercices corrigés pour s’entraîner à la maison

17 juillet 2025

Avec Masteur, de bonnes habitudes de travail pour une scolarité réussie !

Vous ne comprenez pas pourquoi votre enfant bloque sur ce chapitre ? C’est normal : les identités remarquables, c’est un peu comme des formules magiques en maths. Mais rassurez-vous, on va les apprivoiser ensemble, avec des exemples concrets et 10 exercices corrigés pour réviser sans stress à la maison.

🧠 Qu’est-ce qu’une identité remarquable ?

Dans cette première partie, on pose les bases : définition, utilité, et lien avec le programme de seconde maths.

Les identités remarquables sont des égalités mathématiques qui permettent de développer ou factoriser rapidement une expression. Un peu comme si on avait une formule toute faite à appliquer.

Prenons un exemple concret : si vous avez déjà vu un carreau de carrelage carré, sa surface se calcule avec :
a × a = a²
En ajoutant deux rectangles autour, on construit une nouvelle figure… et hop, une identité remarquable ! 🧩

Ces identités sont abordées dès la 4e, mais deviennent centrales en classe de seconde. On les retrouve dans les équations, la factorisation, les problèmes… Impossible d’y échapper !

🧾 Développer = transformer un produit en somme (exemple : (a + b)² = a² + 2ab + b²)
Factoriser = faire l’inverse : transformer une somme en produit.

📚 Les 3 identités remarquables à connaître absolument

Voici les 3 formules clés avec exemples pour les retenir facilement.

✅ Le carré d’une somme

Formule :
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemple :
(3 + 4)² = 3² + 2 × 3 × 4 + 4²
= 9 + 24 + 16
= 49

✅ Le carré d’une différence

Formule :
(a – b)² = a² – 2ab + b²

Exemple :
(5 – 2)² = 5² – 2 × 5 × 2 + 2²
= 25 – 20 + 4
= 9

✅ La différence de carrés

Formule :
a² – b² = (a – b)(a + b)

Exemple :
36 – 25 = (6 – 5)(6 + 5)
= 1 × 11
= 11

🧱 Focus spécial : l’identité remarquable cube

Moins fréquente, elle devient utile dès la classe de seconde.

🧊 Le cube d’une somme

Formule :
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

🧊 Le cube d’une différence

Formule :
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Exemple :
(2 + 1)³ = 2³ + 3 × 2² × 1 + 3 × 2 × 1² + 1³
= 8 + 12 + 6 + 1
= 27

🛠️ Comment utiliser une identité remarquable pour développer ?

On apprend à repérer la structure et à appliquer la bonne formule.

Exemple :
(x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5²
= x² + 10x + 25

Méthode :

Identifier la structure : somme ou différence ?
Choisir la bonne formule.
Attention aux signes : les erreurs sont souvent là !

💡 ASTUCE POUR NE PAS SE TROMPER
Le terme du milieu est toujours le double produit : 2ab

🧩 Comment factoriser avec une identité remarquable ?

On reconnaît une forme connue et on la réécrit en produit.

Exemple :
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Autre exemple :
16x² – 25 = (4x – 5)(4x + 5)

📌 CE QU’IL FAUT RETENIR
✔️ Le premier et le dernier termes doivent être des carrés parfaits
✔️ Le deuxième terme doit être le double produit
✔️ Si c’est le cas → on peut factoriser !

🧪 10 exercices corrigés d’identités remarquables

S’entraîner est essentiel pour bien maîtriser les identités remarquables. En maths, on ne progresse pas seulement en lisant des règles, mais en les mettant en pratique. Plus on s’exerce, plus on reconnaît vite les structures, on évite les pièges de signe, et on gagne en confiance. Ces exercices vous permettront d’automatiser les réflexes utiles et de mieux réussir les contrôles ou examens.

Voici 10 exercices 100 % corrigés pour s’entraîner efficacement.

🔹 Développement

(x + 4)²
→ x² + 2 × x × 4 + 4²
→ x² + 8x + 16
(5x – 3)²
→ (5x)² – 2 × 5x × 3 + 3²
→ 25x² – 30x + 9
(2x + 7)²
→ (2x)² + 2 × 2x × 7 + 7²
→ 4x² + 28x + 49
(3a – 1)²
→ (3a)² – 2 × 3a × 1 + 1²
→ 9a² – 6a + 1
(x – 5)(x + 5)
→ x² – 5²
→ x² – 25

🔹 Factorisation

x² + 12x + 36
→ x² + 2 × x × 6 + 6²
→ (x + 6)²
16x² – 81
→ (4x)² – 9²
→ (4x – 9)(4x + 9)
9x² + 24x + 16
→ (3x)² + 2 × 3x × 4 + 4²
→ (3x + 4)²
x² – 49
→ x² – 7²
→ (x – 7)(x + 7)
36x² – 60x + 25
→ (6x)² – 2 × 6x × 5 + 5²
→ (6x – 5)²

🌟 Aller plus loin dans le programme de seconde

Les identités remarquables servent à simplifier les équations.

Exemple :
(x + 2)² = 49
→ x² + 4x + 4 = 49
→ x² + 4x – 45 = 0

On peut ensuite appliquer le discriminant (vu en seconde).

Utilisez aussi des outils pour résoudre des équations en ligne (GeoGebra, Mathenpoche).

📌 Ce qu’il faut retenir

Notion importante	Formule, méthode ou règle clé
Identité remarquable	Outil pour développer ou factoriser une expression rapidement
Carré d’une somme	(a + b)² = a² + 2ab + b²
Carré d’une différence	(a – b)² = a² – 2ab + b²
Différence de carrés	a² – b² = (a – b)(a + b)
Cube d’une somme	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Reconnaître pour développer	Identifier somme ou différence, appliquer la bonne formule
Reconnaître pour factoriser	Vérifier carrés + double produit, puis factoriser

❓ Questions fréquentes

• Mon enfant n’arrive pas à appliquer une identité remarquable, comment puis-je l’aider ?
Commencez par lui faire repérer les termes au carré dans l’expression, puis vérifiez ensemble si le terme du milieu est un double produit. À la maison, reprenez les exercices corrigés ou utilisez un outil pour factoriser en ligne afin qu’il visualise les étapes.

• Les identités remarquables sont-elles utiles au-delà des maths ?
Oui ! Elles apparaissent aussi en physique, en algorithmique ou même en économie. Par exemple, pour résoudre des équations en ligne dans un simulateur de physique ou pour estimer un budget (en modélisation de prix).

• Faut-il privilégier le développement ou la factorisation dans les devoirs ?
Cela dépend de la consigne. S’il faut simplifier une expression ou résoudre une équation, la factorisation sera plus utile. D’où l’intérêt de s’entraîner avec des exercices sur la factorisation en plus du développement.

• Comment aider mon enfant à mémoriser les identités remarquables ?
Vous pouvez les afficher dans un endroit visible (frigo, bureau) ou utiliser des moyens mnémotechniques. Faire et refaire les mêmes types d’exercices aide aussi beaucoup à ancrer les automatismes.

• Existe-t-il des ressources adaptées au niveau collège pour réviser ce chapitre ?
Oui, certaines fiches comme celles du programme seconde maths proposées sur Maths MDE ou le collège Tanguy Prigent sont parfaites. Elles contiennent des exercices corrigés progressifs, à imprimer ou à faire en ligne.

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