Identité remarquable : 10 exercices corrigés pour s’entrainer à la maison
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Votre enfant bloque sur le développement de x + 3 au carré ? Il ne sait pas quoi faire devant une expression comme x² – 25 ? Pas de panique ! Cet article vous guide pas à pas pour comprendre les identités remarquables, les appliquer, et vous entraîner en famille avec 10 exercices corrigés.
Les identités remarquables : un passage clé du programme de maths
Cette partie montre pourquoi les identités remarquables sont essentielles dès la 4e, et jusqu’au lycée.
Les identités remarquables sont comme des raccourcis mathématiques : elles permettent de développer ou factoriser en ligne des expressions sans passer par les longues étapes du calcul.
Dès la classe de 4e, les élèves apprennent à les reconnaître et à les utiliser. Au Brevet, elles sont fréquentes. Et en Seconde, elles réapparaissent dans les fonctions, les équations, et même en physique. Sur des plateformes comme delta maths, elles sont omniprésentes.
Les 3 identités remarquables à connaître absolument
On découvre ici les 3 formules incontournables, avec des exemples concrets pour mieux les retenir.
Voici les trois identités remarquables de base :
Carré d’une somme :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemple : (x + 3)² = x² + 6x + 9Carré d’une différence :
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Exemple : (x – 5)² = x² – 10x + 25Différence de carrés :
(a + b)(a – b) = a² – b²
Exemple : (x + 4)(x – 4) = x² – 16
👉 Ces identités remarquables sont toujours vraies, quels que soient les nombres choisis. Elles simplifient les calculs et permettent de résoudre plus rapidement tout exercice sur la factorisation.
🧊 Zoom sur l’identité remarquable cube
Focus sur une formule plus avancée mais très utile en Seconde pour les cubes de binômes.
Quand on monte en niveau, on découvre l’identité remarquable cube. Elle est moins connue mais très utile, surtout en Seconde et dans les exercices sur delta maths.
Cube d’une somme :
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³Cube d’une différence :
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Exemple :
(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
Ces identités sont utilisées pour développer des polynômes de degré 3, mais aussi pour modéliser des volumes ou factoriser des expressions complexes.
🔍 Comment les repérer et les utiliser ?
Des techniques concrètes pour identifier rapidement les identités remarquables dans les exercices.
Pour reconnaître une identité remarquable, il faut :
Chercher des carrés parfaits dans les termes (x², 16, 49…)
Repérer les coefficients du terme du milieu (correspondent-ils à 2ab ?)
Identifier les formes classiques : deux termes, trois termes, produit de binômes…
🧪 10 exercices corrigés pour s’entraîner en famille
Une sélection d’exercices de difficulté progressive, tous accompagnés de leur correction.
Niveau 4e
Exercice 1 : Développer (x + 7)²
Réponse : x² + 14x + 49
Exercice 2 : Développer (x – 5)²
Réponse : x² – 10x + 25
Exercice 3 : Factoriser x² – 36
Réponse : (x + 6)(x – 6)
Niveau 3e
Exercice 4 : Développer (2x – 3)²
Réponse : 4x² – 12x + 9
Exercice 5 : Factoriser x² + 12x + 36
Réponse : (x + 6)²
Exercice 6 : Factoriser 9x² – 49
Réponse : (3x + 7)(3x – 7)
Exercice 7 : Développer (3x + 2)²
Réponse : 9x² + 12x + 4
Niveau Seconde
Exercice 8 : Développer (x + 2)³
Réponse : x³ + 6x² + 12x + 8
Exercice 9 : Développer (x – 1)³
Réponse : x³ – 3x² + 3x – 1
Exercice 10 : Factoriser x² – 121
Réponse : (x + 11)(x – 11
💡Vous voulez aller plus loin ? Découvrez aussi nos 10 exercices corrigés sur la factorisation ici
🛠 Outils pour aller plus loin
Des ressources variées, gratuites et sans pub de cours particuliers, pour progresser sur les identités remarquables.
- Micmaths : Chaîne YouTube ludique pour comprendre les maths autrement (avec expériences et explications visuelles).
Sésamath : Plateforme complète d’exercices interactifs, fiches et devoirs corrigés du collège au lycée.
Calculis : Calculatrice en ligne pour factoriser automatiquement les expressions algébriques.
Ce qu’il faut retenir
| Notion clé | Formule ou méthode à retenir |
|---|---|
| Carré d’une somme | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Carré d’une différence | (a – b)² = a² – 2ab + b² |
| Différence de carrés | (a + b)(a – b) = a² – b² |
| Identité remarquable cube | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ; (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ |
| Reconnaître une structure | Carrés parfaits, coefficient du milieu, présence d’un produit remarquable |
| S’entraîner efficacement | Utiliser Delta Maths, factoriser en ligne, faire des exercices réguliers |
❓ Questions fréquentes
• Comment savoir si une expression utilise une identité remarquable ?
Regardez si l’expression contient un carré ou un cube, et si sa forme rappelle une des identités remarquables classiques. Si vous voyez deux termes carrés et un terme du milieu correspondant à 2ab, vous êtes sûrement face à une identité remarquable. Un bon réflexe : tenter de la factoriser en ligne pour vérifier.
• À quoi sert l’identité remarquable cube en seconde ?
L’identité remarquable cube est essentielle pour développer ou factoriser des polynômes de degré
• Existe-t-il des outils fiables pour factoriser sans faire d’erreur ?
Oui. Vous pouvez utiliser des sites pour factoriser en ligne comme Symbolab ou Calculis. Ces outils montrent aussi les étapes, ce qui aide à comprendre les identités remarquables sans tricher.
• Faut-il absolument mémoriser les identités remarquables ?
Oui, car sans elles, chaque exercice sur la factorisation devient plus long et plus risqué. On conseille de les apprendre comme des formules de géométrie.
• Est-ce que les identités remarquables tombent souvent au Brevet ?
Très souvent ! Ce sont des notions incontournables du programme. Elles apparaissent dans des exercices de développement, de mise en forme d’expressions ou d’équations.
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